Memodelkan Laju Produksi, Perjalanan, Campuran, dan Keuangan

Ringkasan

• Soal cerita menguji kemampuan memilih model hitung yang tepat dari situasi sehari-hari: laju kerja, kecepatan, campuran, untung-rugi, bunga, atau produksi.
• Ubah narasi menjadi besaran, satuan, dan persamaan sebelum menghitung; jawaban harus kembali sesuai pertanyaan dan satuan yang diminta.

Konsep inti

Laju kerja dan produksi

Laju adalah jumlah pekerjaan per satuan waktu. Jika mesin A menghasilkan r unit per jam dan mesin B menghasilkan s unit per jam, laju bersama adalah r+s selama keduanya bekerja pada produk yang sama tanpa saling menghambat. Jumlah produksi = laju×waktu. Jika laju dinyatakan sebagai waktu menyelesaikan satu pekerjaan penuh, ubah menjadi pecahan pekerjaan per waktu. Mesin yang menyelesaikan satu pekerjaan dalam 6 jam memiliki laju 1/6 pekerjaan per jam. Laju dua mesin dijumlahkan, lalu waktu = pekerjaan yang tersisa dibagi laju gabungan.

Jangan menjumlahkan waktu penyelesaian. Jika pekerja A perlu 8 hari dan B perlu 12 hari, satu hari kerja bersama menyelesaikan 1/8+1/12=5/24 pekerjaan, bukan 20 hari atau 10 hari. Jika ada pergantian pekerja, hitung bagian yang telah selesai pada setiap tahap, kurangi dari satu pekerjaan, lalu bagi sisa dengan laju pekerja yang masih aktif. Untuk produksi unit, pastikan laju per mesin, per pekerja, atau per tim tidak tertukar.

Kecepatan, jarak, dan waktu

Hubungan dasarnya jarak=kecepatan×waktu. Susun kembali menjadi waktu=jarak/kecepatan atau kecepatan=jarak/waktu sesuai yang dicari. Samakan satuan terlebih dahulu: kilometer dengan jam menghasilkan km/jam; meter dengan detik menghasilkan m/detik. Untuk dua kendaraan yang saling mendekat, laju penutupan jarak adalah jumlah kecepatan. Untuk kendaraan searah yang mengejar, laju penutupan adalah selisih kecepatannya. Bila perjalanan terdiri atas beberapa ruas, hitung waktu setiap ruas lalu jumlahkan. Kecepatan rata-rata total adalah seluruh jarak dibagi seluruh waktu, bukan rata-rata biasa dua kecepatan kecuali kondisi waktunya sama.

Campuran

Pada campuran, jumlah zat aktif tetap jika tidak ada zat yang ditambahkan atau dihilangkan. Zat aktif = volume×kadar. Jumlahkan zat aktif dari masing-masing larutan, lalu bagi dengan volume campuran untuk mendapatkan kadar akhir. Jika menambahkan air murni, volume bertambah tetapi jumlah zat aktif tetap. Jika mencampur dua larutan, jangan merata-ratakan persentase tanpa bobot volume; larutan yang volumenya lebih besar memberi pengaruh lebih besar.

Untung, rugi, dan bunga

Untung = harga jual−harga beli; rugi = harga beli−harga jual. Persentase untung atau rugi biasanya dibandingkan dengan harga beli: untung/harga beli×100%. Jika ada beberapa barang, total pendapatan harus dibandingkan dengan total modal, bukan menghitung persentase per barang lalu mengambil rata-rata tanpa bobot. Diskon dihitung dari harga yang menjadi dasar diskon. Harga setelah diskon d% = harga sebelum diskon×(1−d/100).

Bunga tunggal dihitung dengan I=P×r×t, dengan P modal, r suku bunga per satuan waktu, dan t lama simpan dalam satuan yang sama. Jika suku bunga tahunan dan waktu dalam bulan, ubah t menjadi bulan/12. Jumlah akhir = modal+bunga bila soal menanyakan saldo. Jangan tertukar antara bunga dan nilai akhir. Bunga berbunga memakai modal yang berubah tiap periode; jumlah akhir setelah n periode adalah A=P×(1+r)^n, sedangkan bunga total A−P. Gunakan rumus ini hanya jika soal menyebut bunga majemuk dan periode kapitalisasi sesuai dengan satuan r. Pada kerja bersama, samakan jangka waktu sebelum menggabungkan output. Jika satu mesin menghasilkan 40 unit dalam 2 jam, laju rata-ratanya 20 unit per jam; jangan langsung menjumlahkan angka 40 dengan laju mesin lain. Bila produksi berubah karena istirahat, hitung tiap rentang waktu secara terpisah. Untuk perjalanan, waspadai waktu keberangkatan tidak bersamaan: cari keunggulan jarak kendaraan pertama saat kendaraan kedua mulai, lalu gunakan laju relatif. Dalam campuran, satuan volume harus sama sebelum menjumlahkan zat aktif; konsentrasi 30% dari 1 liter berbeda kontribusinya dari 30% dari 10 liter. Untuk persentase untung, modal total mencakup seluruh unit yang sudah dibeli, termasuk barang rusak atau tidak laku.

Menandai informasi penting

Garisbawahi nilai, satuan, kata per, setiap, sisa, selama, dan setelah. Tulis apa yang dicari di akhir. Buat sketsa kecil untuk perjalanan atau tahap kerja; buat kotak untuk campuran berisi volume, kadar, dan zat aktif; buat baris untuk modal, bunga, dan waktu. Setelah memperoleh angka, cek apakah satuannya masuk akal. Jika hasil waktu lebih panjang dari lama proyek yang tersedia, kemungkinan model atau satuan keliru.

Contoh soal dan cara berpikir

Dua mesin bekerja pada pesanan yang sama. Mesin A menghasilkan 18 komponen per jam dan mesin B menghasilkan 12 komponen per jam. Jika keduanya beroperasi bersama selama 5 jam tanpa jeda, berapa komponen dihasilkan?

1. Laju bersama =18+12=30 komponen per jam.
2. Produksi total =30×5=150 komponen.
3. Satuan cocok: komponen/jam dikali jam menghasilkan komponen.
4. Jika pertanyaan berubah menjadi waktu untuk membuat 150 komponen, hitung 150/30=5 jam.

Tips ujian

• Tulis besaran dan satuannya sebelum membuat persamaan.
• Untuk kerja bersama, jumlahkan laju, bukan jumlah hari atau jam penyelesaian.
• Untuk perjalanan bertahap, hitung waktu setiap ruas lalu jumlahkan.
• Pada campuran, hitung zat aktif sebelum menghitung kadar akhir.
• Bedakan persentase untung, bunga yang diperoleh, dan jumlah saldo akhir.

Kesalahan umum

• Menjumlahkan durasi kerja untuk dua pekerja. Ubah durasi menjadi laju pekerjaan per satuan waktu.
• Menggunakan kecepatan rata-rata sederhana saat waktu tiap ruas tidak sama. Gunakan jarak total dibagi waktu total.
• Merata-ratakan kadar campuran tanpa mempertimbangkan volume. Timbang setiap kadar dengan volumenya.
• Menghitung untung sebagai persentase harga jual, padahal dasar yang lazim dalam soal adalah harga beli; ikuti definisi yang dinyatakan.
• Memasukkan bulan langsung ke rumus bunga tahunan. Samakan satuan waktu terlebih dahulu.

Rangkuman 60 detik

• Produksi=laju×waktu; laju kerja bersama dijumlahkan.
• Jarak=kecepatan×waktu; kecepatan rata-rata total=jarak total/waktu total.
• Zat aktif campuran=volume×kadar; jumlahkan zat aktif sebelum membagi volume.
• Persentase untung/rugi dihitung dari dasar yang dinyatakan, biasanya harga beli.
• Bunga tunggal=modal×suku bunga×waktu dalam satuan yang sesuai.